Đặt G là một p-nhóm Prüfer. Ta có:

a) G đẳng cấu với nhóm thương Z [ 1 / p ] / Z , {\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} ,} với Z [ 1 / p ] {\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]} là nhóm con của (Q,+) được tạo bởi các phân số có dạng n / p m {\displaystyle n/p^{m}} , với n ∈ Z , m ∈ N {\displaystyle n\in \mathbf {Z} ,m\in \mathbf {N} } .

Chứng minh. Đồng cấu Z [ 1 / p ] → C p ∞ : q ↦ exp ⁡ ( 2 π i q ) {\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]\rightarrow \mathbf {C} _{p^{\infty }}:q\mapsto \exp(2\pi iq)} là một toàn ánh. Hạch của nó là Z {\displaystyle \mathbf {Z} } .

b) G có biểu thị nhóm

⟨ x 1 , x 2 , … | x 1 p = 1 , x 2 p = x 1 , x 3 p = x 2 , … ⟩ . {\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\dots |x_{1}^{p}=1,x_{2}^{p}=x_{1},x_{3}^{p}=x_{2},\dots \rangle .}

c) G có một hệ sinh   ( a n ) n ∈ Z {\displaystyle \ (a_{n})_{n\in \mathbf {Z} }} sao cho   a 0 ≠ 1 {\displaystyle \ a_{0}\not =1} ,   a 0 p = 1 {\displaystyle \ a_{0}^{p}=1} và   a n + 1 p = a n {\displaystyle \ a_{n+1}^{p}=a_{n}} với mọi n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} [2].

d) G là hợp của một chuỗi tăng dần vô hạn C 0 ≤ C 1 ≤ … ≤ C n ≤ … {\displaystyle C_{0}\leq C_{1}\leq \ldots \leq C_{n}\leq \ldots } trong đó, với mọi n, Cn là một nhóm cyclic cấp pn [3].